Metode Gauss Seidel, Metode Newton Rhapson, Metode Fast Decoupled dan Metode runge-kutta orde 4

BAB I

PENDAHULUAN

1.1          Latar Belakang

      Untuk menunjang bertambahnya permintaan energi listrik harus diimbangi dengan peningkatan kualitas energi listrik yang disalurkan. Dengan melakukan suatu analisa terhadap sistem tenaga merupakan salah satu cara untuk meningkatkan kualitas energi listrik, dikarenakan analisa sistem tenaga mencakup beberapa permasalahan utama dalam system tenaga yaitu aliran beban, hubung singkat, stabilitas dan pengaman. Keempat masalah tersebut adalah faktor penting untuk meningkatkan kualitas energi listrik yang disalurkan.

     Untuk menyelesaikan studi aliran daya dengan metode iterasi (numerik) telah banyak dikembangkan dengan menggunakan komputer digital. Bermacam metode penyelesaian studi aliran daya telah semakin banyak dikembangkan sejalan dengan makin berkembangnya konfigurasi jaringan system tenaga, baik dalam perencanaan, pengembangan, maupun pengoperasian. Sampai saat ini beberapa metode yang sering dipelajari adalah Metode Gauss Seidel, Metode Newton Rhapson, Metode Fast Decoupled dan Metode runge-kutta orde 4  . Masing-masing metode untuk analisa aliran daya mempunyai kekurangan dan kelebihan satu sama lain.

     Dalam makalah ini penulis akan membandingkan keandalan antara metode Gauss-Seidel, metode Newton Raphson, metode Fast Decoupled dan metode runge-kutta orde 4 dalam menyelesaikan masalah aliran daya untuk mengetahui kelebihan dan kekurangan masing-masing metode.

1.2              Tujuan

     Tujuan dari pembuatan makalah ini adalah untuk :

1. Untuk mengetahui akan kelebihan dan kekurangan antara metode Gauss-Seidel, metode    Newton Raphson, metode Fast Decoupled dan metode  runge-kutta orde 4 sehingga bisa menentukan metode mana yang lebih baik dalam

penyelesaian masalah analisa aliran daya.

2. Membuat suatu perangkat lunak yang dapat membantu dalam menyelesaikan masalah perbandingan metode Gauss-Seidel, metode Newton Raphson, metode Fast Decoupled dan  metode runge-kutta agar mudah dalam penganalisaan.

1.3              Rumusan Masalah

Rumusan masalah dari makalah ini adalah :

1.    Bagaimanakah perbandingan dari keempat metode tersebut?

2.    Apa saja keuntungan dan kelemahan dari ke empat metode tersebut?

BAB II

PEMBAHASAN

PENGGUNAAN METODE GAUSS SEIDEL, METODE NEWTON RAPHSON, METODE FAST DECOUPLED DAN METODE RUNGE-KUTTA  DALAM STUDI ALIRAN DAYA

2.1  Metode Gauss-Seidel

Aplikasi hasil bus ini adalah

Daya nyata dan reaktif pada bus i adalah

Di konjugatkan menjadi

mensubtitusikan persamaan (3.2) dengan persamaan (3.1) hasilnya,

   Dari hubungan diatas, hasilnya harus dipecahkan oleh teknik iterasi. Persamaan (3.4) dipecahkan untuk Vi.

   Persamaan aliran daya biasanya ditulis dalam istilah elemen matrik admitansi bus.

Sejak itu elemen diagonal-off pada matrik admitansi bus Ybus, ditunjukkan oleh persamaan diatas, yaitu Yij = -yij , dan elemen diagonal adalah Yii= Σ yij , persamaan menjadi,

   Untuk generator bus (bus P-V) dimana sch Pi dan Vi adalah ditentukan, persamaan (3.7) ditentukan untuk (k +1) Qi . Untuk mendapatkan (k+1) Vi ditentukan dengan menggunakan persamaan,

dimana ei(k +1) dan fi (k+1) adalah komponen real dan imajiner tegangan (k +1)

Vi pada iterasi berikutnya. Kecepatan konvergensi dapatm ditambahkan oleh aplikasi factor ketelitian pada iterasi berikutnya yaitu

dimana

α = faktor kecepatan.

Vcal = Tegangan yang dihitung (calculated)

   Iterasi dilanjutkan sampai magnitude elemen dalam kolom  ΔP dan  ΔQ adalah lebih kecil dari nilai spesifik. Tipe daya tak sebanding ketelitiannya adalah 0.001 pu. Ketika solusi konvergen, daya aktif dan reaktif pada slack bus dihitung.

2.2   Metode Newton Raphson

   Dasar dari metode Newton Raphson dalam penyelesaian aliran daya adalah deret Taylor untuk suatu fungsi dengan dua variable lebih. Metode Newton Rhapson menyelesaikan masalah aliran daya dengan menggunakan suatu set persamaan non linier untuk menghitung besarnya tegangan dan sudut fasa tegangan tiap bus.

Daya injeksi pada bus i adalah :

   Dalam hal ini dilakukan pemisahan daya nyata dan daya reaktif pada bus i. Pemisahan ini akan menghasilkan suatu set persamaan simultan non linear.

Dalam koordinat kutub diketahui :

   Karena e (δj- δi+θij)= cos (δj- δi+θij) + j sin (δj-

δi+θij), maka pemisahan daya pada bus i

menjadi komponen real dan imajiner adalah :

   Nilai Pi dan Qi telah diketahui, tetapi nilai Vi dan δi tidak diketahui kecuali pada slack bus. Kedua persamaan non linier tersebut dapat diuraikan menjadi suatu set persamaan simultan linier dengan cara menyatakan hubungan antara perubahan daya nyata ΔPi dan daya reaktif ΔQi terhadap perubahan magnitude tegangan ΔVi dan sudut fasa tegangan Δδi.

   Elemen – elemen matriks Jacobi dapat dihitung dengan menggunakan persamaanpersamaan daya nyata dan reaktif pada bus I dari persamaan (3.14) dan (3.15) yang diturunkan sebagai berikut : (i = 1, 2, … , n-1)

Elemen-elemen off-diagonal dari J1 adalah :

Elemen diagonal dari J1 adalah :

Elemen off-diagonal dari J2 adalah :

Elemen diagonal dari J2 adalah :

Elemen off-diagonal dari J3 adalah :

Elemen diagonal dari J3 adalah :

Elemen-elemen off-diagonal dari J4 adalah :

Elemen diagonal dari J4 adalah :

   Elemen-elemen matriks Jacobi dihitung setiap akan melakukan iterasi. Perhitungan iterasi dimulai dengan memberikan perkiraan magnitude tegangan dan sudut fasa tegangan mula-mula. Perubahanperubahan dalam daya nyata dan daya reaktif yang telah dijadwalkan dikurangi dengan daya nyata dan daya reaktif yang dihitung dari persamaan (3.17) sampai (3.24)

ΔPik = Pi(terjadwal) – Pik ΔQi

k = Qi(terjadwal) – Qik i = 1, 2, … , n-1 (3.25)

   Elemen-elemen matriks Jacobim dihitung dengan menggunakan magnitude tegangan dan sudut fasa tegangan estimasi mula-mula. Dengan menggunakan metode invers langsung maka persamaan linier (3.16) dapat dipecahkan untuk mendapatkan nilai-nilai magnitude tegangan dan sudut fasa tegangan estimasi yang baru pada tiap bus (kecuali slack bus), sebagai berikut :

   Proses iterasi kembali lagi ke proses awal dan hal ini terus diulangi sampai ΔPik dan ΔQi k untuk semua bus (selain slack bus) memenuhi harga toleransi yang diberikan (biasanya diambil ≤ 0.001).

Δi k+1 = δik + Δ δik

|Vi |k+1 = |Vi |k + Δ |Vi |k                                      (3.26)

Jadi iterasi selesai bila,

Δ δik ≤ 0.001

Δ |Vi |k ≤ 0.001

2.3   Metode Fast Decoupled

   Karakteristik yang menarik dari pengoperasian sistem tenaga dalam kondisi tunak adalah ketergantungan antara daya nyata dengan sudut fasa tegangan bus dan antara daya reaktif dengan magnitude tegangan bus. Dalam kondisi ini, danya perubahan yang kecil pada magnitude tegangan tidak akan menyebabkan perubahan yang berarti pada daya nyata.

   Sedangkan perubahan kecil pada sudut tegangan fasa tidak akan menyebabkan perubahan berarti pada daya reaktif.

   Ini dapat dibuktikan pada pendekatanpendekatan dilakukan untuk menyatakan keterkaitan antara P dan δ serta antara Q dan V.

   Dengan menggunakan bentuk koordinat kutub maka solusi permasalahan diperoleh yaitu dengan cara mengasumsikan elemen-elemen sub matriks J2 dan J3 dalam matriks Jacobi adalah nol.

dipersamaan diatas dapat dilihat bahwa apabila pada pembentukan daya aktif faktor yang menentukan adalah sudut tegangan jadi adanya perubahan pada magnitude tegangan tidak mempengaruhi daya aktif. Kondisi sebaliknya diperuntukkan pada persamaan pembentukan daya reaktif yaitu perubahan kecil pada sudut fasa tidak akan menyebabkan perubahan yang berarti pada daya reaktif.

   Elemen-elemen matriks Jacobi yang diturunkan dari persamaan (2.17) sampai (2.24) adalah :

   Untuk J1 :

dimana,

Bij = Yij sin θij

Bii = Yii sin θii

Dapat dilihat dari persamaan (2.15)

Untuk J2 :

Nij ≈ 0

Nii ≈ 0

Untuk J3 :

Jij ≈ 0

Jii ≈ 0

Untuk J4 :

dimana,

Bij = Yij sin θij

Bii = Yii sin θii

dilihat dari persamaan (2.15)

Dalam bentuk matriks, lambang elemen matriks

Jacobi dikoreksi menjadi:

atau dalam format iterasi dapat kita tulis :

   Metode Decoupled ini mempunyai konvergensi yang sama dengan metode Newton Rhapson. Keuntungan yang dimiliki oleh metode ini adalah penggunaan memori komputer yang lebih kecil karena mengabaikan sub matriks N dan J (atau J2 dan J3).

2.4   Metode Runge-Kutta orde 4

      Metode Runge-Kutta dikembangkan untuk menghindari penghitungan turunan-turunan yang berorde lebih tinggi. Sebagai ganti dari turunan-turunan ini maka digunakan nilai-nilai tambahan dari fungsi (f x,y )Kesederhanaanya telah membuat metoda ini menjadi sangat populer. Dengan Penyelesaian Runge-Kutta Orde 4, dimana untuk menentukan harga x(t), tentukan terlebih dahulu empat konstanta dalam bentuk persamaan (1) s/d (4) berikut 

   Sehingga algoritma perhitungan untuk harga x berturut-turut dapat dicari dengan persamaan berikut

   Untuk menentukan penyelesaian persamaan ayunan dimana daya masukan P m diasumsikan konstan, pada operasi keadaan mantap dimana P e = P m dan sudut daya mula-mula dinyatakan dalam bentuk persamaan (6) berikut

dan X1 adalah reaktansi transfer sebelum gangguan. Rotor berputar pada kecepatan sinkron dan kemudian kecepatan putar berubah menjadi nol, sehingga diperoleh persamaan (8) berikut

   Gangguan tiga fasa terjadi salah satu pertengahan saluran sehingga persamaan sudut daya dinyatakan dalam bentuk persamaan (9) berikut

dan X2 adalah reaktansi transfer selama gangguan. Dengan demikian persamaan ayunan dinyatakan dalam bentuk persamaan (10) berikut

   Persamaan (10) ditransformasikan kedalam bentuk persamaan (11) dan (12) berikut

  

   Untuk menentukan harga δ dan ω dengan penyelesaian metoda Runge-Kutta orde 4, terlebih dahulu tentukan harga-harga  K1, K2

   Selanjutnya harga δ dan ω dapat ditentukan dengan menggunakan persamaan (21) dan (22) berikut

BAB III

PENUTUP

3.1   Kesimpulan

1.      Jumlah iterasi untuk mencapai konvergen, metode Gauss-Seidel (29 Iterasi untuk jaringan 5 Bus 7 Saluran) lebih banyak dibandingkan metode Newton Raphson (3 Iterasi untuk jaringan 5 Bus 7 Saluran) dan metode Fast Decoupled (8 Iterasi untuk jaringan 5 Bus 7 Saluran). Ini membuktikan bahwa metode Newton Raphson dan metode Fast Decoupled mempunyai kurva iterasi yang lebih baik daripada metode Gauss Seidel.

2.      Untuk masalah rugi-rugi daya saluran pada keempat metode hasilnya hamper mendekati sama berarti ketelitian untuk perhitungan rugi-rugi daya hampir sama ketelitiannya.

3.      Operasi matematik metode Newton Raphson dan Fast Decoupled lebih sulit bila dibandingkan dengan metode Gauss-Seidel dikarenakan metode Newton Raphson dan Fast Decouple ada pembentukan matrik Jacobian, begitu pula dengan penyusunan program komputernya, secara relative metode Newton Raphson dan FastDecoupled memerlukan waktu lebih lama.

4.      Metode Newton Raphson lebih sesuai untuk menghitung aliran beban pada sistem dengan jumlah yang besar, dan kurang sesuai untuk sistem kecil, sedang metode Gauss-Seidel bersifat sebaliknya.

5.       Jadi metode yang paling baik adalah metode Fast Decoupled dikarenakan metode ini telah banyak penyempurnaan dari metode-metode sebelumnya dan metode ini dapat diterapkan pada jaringan sistem besar maupun kecil dan cepat mencapai

konvergen.

6.      Metode Runge-Kutta dikembangkan untuk menghindari penghitungan turunan-turunan yang berorde lebih tinggi. Sebagai ganti dari turunan-turunan ini maka digunakan nilai-nilai tambahan dari fungsi (f x,y )Kesederhanaanya telah membuat metoda ini menjadi sangat populer. Dengan Penyelesaian Runge-Kutta Orde 4, dimana untuk menentukan harga x(t)

3.2. Saran

1.      Penulis menyarankan adanya pengembangan selanjutnya dari Makalah ini untuk dibandingkan metodenya dengan metode-metode lainnya sebagai perbandingan. Dan juga dapat dicoba diterapkan pada model sistem jaringan bus yang besar,contohnya seperti model jaringan standar IEEE 57 bus 80 saluran.

2.      Simulasi dalam Makalah ini masih menggunakan asumsi umum studi aliran daya, yakni kondisi system dianggap stabil (Balance System) untuk itu penulis menyarankan untuk mencoba menggunakan pula pada kondisi tak stabil (Unbalanced  System)

DAFTAR PUSTAKA

1.      A. Arismunandar, DR, S. Kuwahara, DR, “Teknik Tenaga Listrik Jilid II”, PT Pradnya Paramita, Jakarta, 1993.

2.      Abdul Kadir, “Dasar Pemrograman Delhpi 5.0 Jilid 1”, Penerbit Andi, Yogyakarta, 2001.

3.      Abdul Kadir, “Dasar Pemrograman Delhpi 5.0 Jilid 2”, Penerbit Andi, Yogyakarta, 2001.

4.      Antony Pranata, “PemrogramanBorland Delphi Edisi 2”, Penerbit Andi, Yogyakarta, 1998.

5.      Budiono Mismail, “Analisa Sistem Tenaga”, Lembaga Penerbitan Universitas Brawijaya,    Malang, 1983.

6.      Basu, Pranamita & Aiswarya Harichandan, Power System Stability Studies Using Matlab, National Institute of Technology Rourkela, (2008)

7.      Ulum, Misbahul, Studi Stabilitas Transient Tenaga Listrik dengan Metode Kriteria Luas Sama Menggunakan Matlab, Universitas Negeri Surabaya, (2007).

8.       Irrine Budi Sulistiawati, Muhammad Abdillah, Adi Soeprijanto, Prediksi Waktu Kritis Pemutusan Sistem Kelistrikkan Jawa – Bali 500 KV Dengan Menggunakan Metoda Runge – Kutta Orde 4, Procedding, Seminar Sistem Tenaga  Listrik, Institute Teknologi Sepuluh November (ITS), (2006)